MadMatics!

Ada yang salah dengan judul di atas? Buanyak, termasuk kehidupan penulis. :v

Eh tapi seriusan tauk, matematika bisa "memodelkan" usia kematian seseorang.  Gimana bisa? Bisa! Model usia kematian seseorang ini lebih jauh dinamakan model mortalitas. Model inilah yang sampe detik ini banyak digunakan oleh perusahaan asuransi jiwa buat memproduksi produk asuransi. Mortalitas ini disajikan dalam bentuk peluang. Misalnya, peluang seseorang berusia 20 tahun akan meninggal pada usia 56 tahun.

Etapi hidup-mati seseorang ga ada yang tau kan ya? Nah, makanya gue bilang, mortalitas bentuknya peluang. Ada banyak banget model mortalitas, tapi perusahaan asuransi biasanya cuma gunain tabel mortalitas. Kayak gini nih bentuknya.

Emang apa sih maksud tabelnya? Di tabel itu, ada tiga variabel. Pertama, px (survival) merupakan peluang seseorang hidup (survival) pada usia x. Lalu, qx (mortalitas) merupakan peluang seseorang meninggal (mortalitas) pada usia x. Dengan demikian, dapat dipastikan, px+qx=1, karena hanya ada dua kemungkinan, yaitu hidup atau mati pada suatu usia ke-x. Coba cek di tabel kalo ga percaya. Sedangkan, lx adalah jumlah orang dalam suatu populasi yang bertahan hidup sampai usia x tahun (dengan asumsi populasi awal 100.000 orang).

Nilai laki-laki dan perempuan beda ya, trus antar negara juga beda, karena angka harapan hidup tiap negara pasti beda. Tabel tersebut dibuat berdasarkan data penelitian dari sekitar 40an responden dari perusahaan asuransi. Jadi, munculnya angka-angka itu bukan main-main ya. :3

Oh ya, total barisnya cuma ada 111. Pas itu, baik untuk laki-laki maupun perempuan, angka survival sama dengan 0 dan angka mortalitas sama dengan 1. Karena di Indonesia, diasumsikan tidak ada manusia yang berusia lebih dari 111.

Lalu, gimana sih kita bisa menghitung peluang sisa usia orang berusia 20 tahun?

Misal, model yang bakal kita pake adalah si Garry.

Kita bakal menghitung di metode diskrit (dihitung per tahun). Nah, kita bakal menghitung probabilitas sisa usia hidupnya. Caranya, pertama kita asumsikan, peluang Garry bertahan hidup pada usia 20 adalah 1 (dengan kata lain, tak mungkin dia mati pada setahun ini). Asumsi ini muncul karena gak mungkin kan orang daftar asuransi dalam keadaan mati? :v

Trus, dari data itu, kita bisa mencari probabilitas Garry masih hidup sampai usia 21. Caranya, kaliin probabilitas dia bertahan hidup pada usia 20 (kita asumsiin nilainya 1 tadi ya) dengan angka di tabel mortalitas bagian laki-laki pada kolom px (survival) baris ke-20. Berarti, 1 dikali 0,99951, hasilnya 0,99951. Nilai ini notasinya 1p20, artinya peluang seseorang usia 20 masih bertahan hidup 1 tahun lagi.

Peluang Garry sampai pada usia 22 berarti 0,99951 (peluang dia hidup sampai usia 21) dikali 0,99941 (angka survival pada baris ke-21), hasilnya 0,998920289 (dinotasikan 2p20). Begitu seterusnya, tiap mau nyari peluang Garry bertahan hidup sampai usia ke-x, harus dicari peluang dia bertahan hidup di usia ke-(x-1) dikali angka survival (px) pada baris ke-(x-1). Angka-angka probabilitas ini dinamakan kp20, yaitu peluang Garry berusia 20 bakal tetep hidup dalam waktu k tahun. Intinya, kita bakal nemu data kayak gini.

Dari data itu, kita bisa bikin variabel acak K(x=20)=k, dengan k adalah sisa usia Garry, yang ngegambarin peluang kematian Garry. Caranya, dengan mengalikan peluang dia bertahan hidup sampai usia ke-x+k (nilai kpx, dengan x=20) dengan angka mortalitas (qx) pada baris ke-x. Jadi misalnya kita mau nyari peluang Garry meninggal pada usia 22, berarti nilai kp20 pada baris k=2 (atau nilai 2p20), yaitu 0,998920289 dikali angka mortalitas (qx) pada baris ke-22, yaitu 0,00069. Hasilnya, peluang Garry meninggal pada usia 22 tahun adalah 0,000689255.

Kenapa gitu? Coba liat garis ini.

Kalo kita mau nyari peluang Garry meninggal pada usia ke-22, dengan usia awal 20, berarti kita harus bikin dia survive sampai usia 22 tahun. Yaitu dengan peluangnya bernilai 0,998920289. Berarti, syarat dia meninggal pada usia 22 tahun, jangan sampai dia bertahan (survival) sampai usia 23, makanya kita kaliin peluang survival sampai usia 22 tahun tadi dengan peluang mortalitas (qx) setelah dia berusia 22 tahun. Ngerti kan? :3

Tapi sekali lagi, kita cuma mainin peluang. Hidup mati tetep ga ada yang tahu. Siapa yang tahu bahwa Garry tiba-tiba pengen bunuh diri mengakhiri kejomloannya di tahun ini? Nah, karena kita main model matematika, ada asumsi-asumsi yang kita bikin, termasuk dengan mengabaikan kejadian seperti itu.

Nah lanjut, intinya kita bakal dapet data probabilitas dengan grafik kayak gini.

Itu buat yang berusia 20 tahun ya, grafiknya miring ke kanan, artinya harapan hidupnya masih lama. Trus gimana dengan yang usianya 63 tahun? Jadi kayak gini.

Tuh kan, miring ke kiri. Artinya, harapan hidupnya gak lama lagi.

Terakhir, kita bisa nyari rata-rata harapan hidupnya loh, dengan rumus berikut,

kita bisa dapetin bahwa harapan hidup orang berusia 20 tahun masih bertahan hidup sampai sekitar 54 tahun lagi. Eh itu kenapa dihitung cuma sampai 91 suku? Soalnya angka maksimal di tabel mortalitas (yaitu 111) dikurangi 20 hasilnya 91. :3 Sedangkan bagi yang berusia 63 tahun, dapat bertahan hidup sekitar 12 tahun lagi. Untuk usia 63, berarti ngitungnya sampai 111-63=48 suku aja, :3

Menarik, bukan?

Bagi kamu yang tertarik di dunia asuransi, hal ini menjadi pondasi awal yang sangat mendasar loh. Kalian bakal jadi peramal modern. Alat kalian bukan lagi bola kristal ajaib, tapi adalah sebuah komputer. Selamat mencoba. :3

Sekian dulu postingan kali ini, apa yang kami tulis adalah apa yang sejauh ini kami tahu. Pai paaaaaiii~ *poof*