0

Persamaan Kuadrat

Jumlah, Selisih, dan Hasil Kali Akar-akar

Bentuk umum persamaan kuadrat :

Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat dari bentuk umum di atas, maka :
Contoh :
Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 4x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. Tentukan nilai dari :
a. x1 + x2
b. x1 . x2
c. x12+ x22
Penyelesaian :
Dari persamaan tersebut, diketahui a=2, b=4, dan c=3, maka :
a. x1 + x2 = -b/a = -4/2 = -2
b. x1 . x2 = c/a = 3/2
c. x12+ x22 = (x1 + x2)2 - 2x1.x2 = (-2)2 - 2(3/2) = 4 - 3 = 1

Contoh :
Persamaan 2x2 + qx + (q - 1) = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x12+ x22 = 4, maka nilai q = ...
Penyelesaian :
Diketahui 2x2 + qx + (q - 1) = 0 dan x12+ x22 = 4.
Berlaku x1 + x2 = -q/2 dan x1 . x2 =(q - 1)/2
x12+ x22 = (x1 + x2)2 - 2x1 . x2 = 4
Substitusikan persamaan x1 + x2 dan x1 . x2 = ke persamaan di atas :
(-q/2)2 - 2((q - 1)/2) = 4
q2/4 - q + 1 - 4 = 0
q2/4 - q - 3 = 0
q2 - 4q - 12 = 0
(q - 6)(q + 2) = 0
q-6 = 0 maka q1 = 6, atau :
q+2 = 0 maka q2 = -2 

Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2, serta deskriminan (D) :
Nilai dan sifat dari akar-akar x1 dan x2 tergantung pada deskriminannya.
  • Jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata (real).
    • Jika D > 0 : akar-akarnya nyata dan berlainan.
      • Jika D = x2 , maka akarnya rasional.
      • Jika D ≠ x2 , maka akarnya irasional.
    • Jika D = 0 : dua akarnya sama.
  • Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar tidak nyata (imajiner/khayal).
Selisih akar persamaan kuadrat
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat, dan berlaku x1 = x2+ n, maka :
Contoh :
Sebuah persamaan kuadrat x2 - 9x + p - 1 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2, jika salah satu akar lebih dari satu dari akar yang lain, maka nilai p = . . .
Penyelesaian :
Karena akar-akar bersifat x1 = x2+1, maka berlaku :
D = (n . a)2 --> n=1
81 - 4(p - 1) = (1.1)2
4(p - 1) = 80
p-1 = 20
p = 21

Perbandingan akar persamaan kuadrat
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat, dan berlaku x1 = n . x2, maka :
Contoh :
x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat
x2 + 4x + k - 4 = 0. Jika  x1 = 3 x2, maka nilai k = . . .
Penyelesaian :
Pada persamaan x2 + 4x + k - 4 = 0 berlaku a = 1, b = 4, dan c = k - 4
Karena x1 = 3 x2, maka n = 3, dan berlaku :
nb2= (n + 1)2 a.c
3(4)2 = (3 + 1)2 1.(k - 4)
3 = k - 4
k = 7
Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat
Beberapa hubungan antara akar-akar x1 dan x2 pada persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0
 
Hubungan
Akar-akar
Syarat
x1
x2
Kedua akar real positif
+
+
D > 0
x1 + x2 > 0
x1 . x2 > 0
Kedua akar real negatif
-
-
D > 0
x1 + x2 < 0
x1 . x2 < 0
Kedua akar berlawanan tanda
+
-
-
+
D > 0
x1 . x2 < 0
Kedua akar real berlawanan
x1 = - x2
D > 0
x1 + x2 = 0
x1 . x2 < 0
Akar yang satu kebalikan akar yang lain
x1 = 1/x2
D > 0
x1 . x2 = 1


Contoh :
Syarat agar akar-akar persamaan kuadrat (p - 2)x2 + 2px + p - 1 = 0 negatif dan berlainan adalah . . .
A. p > 2
B. p < 0 atau p > 2/3
C. 0 < p < 2/3
D. 2/3 < p < 1
E. 2/3 < p < 2
Penyelesaian :
Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat (p - 2)x2 + 2px + p - 1 = 0. Syarat agar akar-akarnya bernilai negatif dan berlainan :

D > 0
(2p)2 - 4.(p - 2).(p - 1) > 0
4p2 - 4(p2 - 3p + 2) > 0
4p2 - 4p2 + 12p - 8 > 0
p > 2/3 ....(1)

x1 + x2 < 0
(-2p)/(p - 2) < 0
p < 0 atau p > 2 ....(2)

x1 . x2 > 0
(p - 1)/(p - 2) > 0
p < 1 atau p > 2 ....(3)

Dari syarat di atas, yaitu yang memenuhi (1), (2) dan (3) maka diperoleh penyelesaian p > 2.
Jawaban : A

Menyusun Persamaan Kuadrat

Jika diketahui akar-akar sebuah persamaan kuadrat x1 dan x2, maka persamaan kuadratnya :
Jika berdasarkan persamaan kuadrat yang diketahui akar-akar x1 dan x2 akan dibuat persamaan kuadrat yang baru akar-akarnya x3 dan x4, maka perlu dicari dulu hubungan antara akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Berikut adalah cara praktis untuk menentukan persamaan kuadrat baru.
Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari ax2 + bx + c, maka dapat disusun persamaan kuadrat yang baru sebagai berikut:
1. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah nx1 dan nx2, maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
a(x/n)2 + b(x/n)2 + c = 0 atau ax2 + b . nx + c . n2 = 0
2. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah 1/x1 dan 1/x2 (berkebalikan), maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
cx2 + bx +a = 0
3. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah -x1 dan -x2, maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
ax2 - bx + c = 0
4. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah x1 + n dan x2 + n, maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
 a(x - n)2 + b(x - n) + c = 0
5. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah x1 - n dan x2 - n, maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0
6. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah x12 dan x22, maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
a2x 2 - (b2 - 2ac)x + c2 = 0
7. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah x1/x2 dan x2/x1, maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
 acx 2 - (b2 - 2ac)x + c2 = 0
8. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah x1 + x2 dan x1 . x2, maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
a2x 2 + (ab - ac)x - bc = 0

Contoh :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -3/2 dan 1!
Penyelesaian :
(x - x1)(x - x2) = 0
(x + 3/2)(x - 1) = 0
x2 + (1/2)x - 3/2 = 0
2x2 + x - 3 = 0

Contoh :
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x + 3 = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α - 2) dan (β - 2) adalah ...
A. x2 + 6x + 5 = 0
B. x2 + 6x + 7 = 0
C. x2 + 6x + 11 = 0
D. x2 - 2x + 3 = 0
E. x2 + 2x + 3 = 0
Penyelesaian :
x2 + 2x +3 = 0 mempunyai akar-akar Î± dan β.
α + β = -b/a = -2
α . β = c/a = 3
Misalkan persamaan kuadrat yang baru akar-akarnya x1 dan x2 dengan x1 = (α - 2) dan x2 = (β - 2) maka persamaan kuadrat yang baru adalah:
x2 - (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0
x2 - ((α - 2) + (β - 2))x + (α - 2).(β - 2) = 0
x2 - ((α + β) - 4)x + (α . β - 2(α + β) + 4) = 0
x2 - (-2 - 4)x + (3 - 2(-2) + 4) = 0
x2 - 6x + 11 = 0
Cara cepat :
Karena akar-akarnya  x1 = (α - 2) dan x2 = (β - 2), maka persamaan kuadrat yang baru:
(x + 2)2 - 2(x + 2) + 3 = 0
x2 + 4x + 4 + 2x + 4 + 3 = 0
x2 - 6x + 11 = 0
Jawaban : C

Contoh :
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya pangkat tiga dari akar-akar persamaan kuadrat  3x2 - 6x + 1 = 0
Penyelesaian :
Persamaan kuadrat yang diketahui : 3x2 - 6x + 1 = 0
Jumlah akarnya : x1 + x2 = -b/a = 2 dan hasil kali akar : x1 . x2 = c/a = 1/3
Misalkan persamaan kuadrat yang baru adalah p & q. Pola hubungan lama dan baru:
p = x13 dan q = x23 
Jumlah akarnya : p + q = x13 + x23 
= (x1 + x2)3 - 3x1 . x2 (x1 + x2)
= 23 - 3 . 1/3 . 2 = 6
Hasil kali akarnya : p . q = x13 . x23 
= (x1 . x2)3 = (1/3)3 = 1/27
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah:
x2 - (p + q)x + p . q = 0
x2 - 6x + 1/27 = 0 (dibulatkan --> x27)
27x2 - 162x + 1 = 0

Muhamad Musta'in

Salah satu tukang ketik di MadMatics di bidang statistika matematika. Pemilik blog MusMeong.com yang suka khilaf kalo liat kucing dan makanan gratisan. Dimana ada makanan gratisan, di situ dia ada. Gampang dilihat di kos temen lagi main GTA 5.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar