Bentuk umum persamaan kuadrat :
Contoh :
Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 4x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. Tentukan nilai dari :
a. x1 + x2
b. x1 . x2
a. x1 + x2
b. x1 . x2
c. x12+ x22
Penyelesaian :
Dari persamaan tersebut, diketahui a=2, b=4, dan c=3, maka :
a. x1 + x2 = -b/a = -4/2 = -2
b. x1 . x2 = c/a = 3/2
b. x1 . x2 = c/a = 3/2
c. x12+ x22 = (x1 + x2)2 - 2x1.x2 = (-2)2 - 2(3/2) = 4 - 3 = 1
Contoh :
Persamaan 2x2 + qx + (q - 1) = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Jika x12+ x22 = 4, maka nilai q = ...
Penyelesaian :
Diketahui 2x2 + qx + (q - 1) = 0 dan x12+ x22 = 4.
Berlaku x1 + x2 = -q/2 dan x1 . x2 =(q - 1)/2
x12+ x22 = (x1 + x2)2 - 2x1 . x2 = 4
Substitusikan persamaan x1 + x2 dan x1 . x2 = ke persamaan di atas :
(-q/2)2 - 2((q - 1)/2) = 4
q2/4 - q + 1 - 4 = 0
q2/4 - q - 3 = 0
q2 - 4q - 12 = 0
(q - 6)(q + 2) = 0
q-6 = 0 maka q1 = 6, atau :
q+2 = 0 maka q2 = -2
Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2, serta deskriminan (D) :
Nilai dan sifat dari akar-akar x1 dan x2 tergantung pada deskriminannya.
- Jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata (real).
- Jika D > 0 : akar-akarnya nyata dan berlainan.
- Jika D = x2 , maka akarnya rasional.
- Jika D ≠ x2 , maka akarnya irasional.
- Jika D = 0 : dua akarnya sama.
- Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar tidak nyata (imajiner/khayal).
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat, dan berlaku x1 = x2+ n, maka :
Contoh :
Sebuah persamaan kuadrat x2 - 9x + p - 1 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2, jika salah satu akar lebih dari satu dari akar yang lain, maka nilai p = . . .
Penyelesaian :
Karena akar-akar bersifat x1 = x2+1, maka berlaku :
D = (n . a)2 --> n=1
81 - 4(p - 1) = (1.1)2
4(p - 1) = 80
p-1 = 20
p = 21
Perbandingan akar persamaan kuadrat
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat, dan berlaku x1 = n . x2, maka :
Contoh :
Contoh :
Sebuah persamaan kuadrat x2 - 9x + p - 1 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2, jika salah satu akar lebih dari satu dari akar yang lain, maka nilai p = . . .
Penyelesaian :
Karena akar-akar bersifat x1 = x2+1, maka berlaku :
D = (n . a)2 --> n=1
81 - 4(p - 1) = (1.1)2
4(p - 1) = 80
p-1 = 20
p = 21
Perbandingan akar persamaan kuadrat
Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat, dan berlaku x1 = n . x2, maka :
Contoh :
x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat
x2 + 4x + k - 4 = 0. Jika x1 = 3 x2, maka nilai k = . . .
Penyelesaian :
Pada persamaan x2 + 4x + k - 4 = 0 berlaku a = 1, b = 4, dan c = k - 4
Karena x1 = 3 x2, maka n = 3, dan berlaku :
nb2= (n + 1)2 a.c
3(4)2 = (3 + 1)2 1.(k - 4)
3 = k - 4
k = 7
Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat
Beberapa hubungan antara akar-akar x1 dan x2 pada persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0
Hubungan | Akar-akar | Syarat | |
x1 | x2 | ||
Kedua akar real positif | + | + | D > 0 x1 + x2 > 0 x1 . x2 > 0 |
Kedua akar real negatif | - | - | D > 0 x1 + x2 < 0 x1 . x2 < 0 |
Kedua akar berlawanan tanda | + - | - + | D > 0 x1 . x2 < 0 |
Kedua akar real berlawanan | x1 = - x2 | D > 0 x1 + x2 = 0 x1 . x2 < 0 | |
Akar yang satu kebalikan akar yang lain | x1 = 1/x2 | D > 0 x1 . x2 = 1 |
Contoh :
Syarat agar akar-akar persamaan kuadrat (p - 2)x2 + 2px + p - 1 = 0 negatif dan berlainan adalah . . .
A. p > 2
B. p < 0 atau p > 2/3
C. 0 < p < 2/3
D. 2/3 < p < 1
E. 2/3 < p < 2
Penyelesaian :
Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat (p - 2)x2 + 2px + p - 1 = 0. Syarat agar akar-akarnya bernilai negatif dan berlainan :
D > 0
(2p)2 - 4.(p - 2).(p - 1) > 0
4p2 - 4(p2 - 3p + 2) > 0
4p2 - 4p2 + 12p - 8 > 0
p > 2/3 ....(1)
x1 + x2 < 0
(-2p)/(p - 2) < 0
p < 0 atau p > 2 ....(2)
x1 . x2 > 0
(p - 1)/(p - 2) > 0
p < 1 atau p > 2 ....(3)
Dari syarat di atas, yaitu yang memenuhi (1), (2) dan (3) maka diperoleh penyelesaian p > 2.
Jawaban : A
Menyusun Persamaan Kuadrat
Jika diketahui akar-akar sebuah persamaan kuadrat x1 dan x2, maka persamaan kuadratnya :
Jika berdasarkan persamaan kuadrat yang diketahui akar-akar x1 dan x2 akan dibuat persamaan kuadrat yang baru akar-akarnya x3 dan x4, maka perlu dicari dulu hubungan antara akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Berikut adalah cara praktis untuk menentukan persamaan kuadrat baru.
Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar dari ax2 + bx + c, maka dapat disusun persamaan kuadrat yang baru sebagai berikut:
1. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah nx1 dan nx2, maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
a(x/n)2 + b(x/n)2 + c = 0 atau ax2 + b . nx + c . n2 = 0
2. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah 1/x1 dan 1/x2 (berkebalikan), maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
cx2 + bx +a = 0
3. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah -x1 dan -x2, maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
ax2 - bx + c = 0
4. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah x1 + n dan x2 + n, maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
a(x - n)2 + b(x - n) + c = 0
5. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah x1 - n dan x2 - n, maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0
6. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah x12 dan x22, maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
a2x 2 - (b2 - 2ac)x + c2 = 0
7. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah x1/x2 dan x2/x1, maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
acx 2 - (b2 - 2ac)x + c2 = 0
8. Jika akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah x1 + x2 dan x1 . x2, maka persamaan kuadrat baru yang diperoleh adalah:
a2x 2 + (ab - ac)x - bc = 0
Contoh :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -3/2 dan 1!
Penyelesaian :
(x - x1)(x - x2) = 0
(x + 3/2)(x - 1) = 0
x2 + (1/2)x - 3/2 = 0
2x2 + x - 3 = 0
Contoh :
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x + 3 = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α - 2) dan (β - 2) adalah ...
A. x2 + 6x + 5 = 0
B. x2 + 6x + 7 = 0
C. x2 + 6x + 11 = 0
D. x2 - 2x + 3 = 0
E. x2 + 2x + 3 = 0
Penyelesaian :
x2 + 2x +3 = 0 mempunyai akar-akar α dan β.
α + β = -b/a = -2
α . β = c/a = 3
Misalkan persamaan kuadrat yang baru akar-akarnya x1 dan x2 dengan x1 = (α - 2) dan x2 = (β - 2) maka persamaan kuadrat yang baru adalah:
x2 - (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0
x2 - ((α - 2) + (β - 2))x + (α - 2).(β - 2) = 0
x2 - ((α + β) - 4)x + (α . β - 2(α + β) + 4) = 0
x2 - (-2 - 4)x + (3 - 2(-2) + 4) = 0
x2 - 6x + 11 = 0
Cara cepat :
Karena akar-akarnya x1 = (α - 2) dan x2 = (β - 2), maka persamaan kuadrat yang baru:
(x + 2)2 - 2(x + 2) + 3 = 0
x2 + 4x + 4 + 2x + 4 + 3 = 0
x2 - 6x + 11 = 0
Jawaban : C
Contoh :
Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya pangkat tiga dari akar-akar persamaan kuadrat 3x2 - 6x + 1 = 0
Penyelesaian :
Persamaan kuadrat yang diketahui : 3x2 - 6x + 1 = 0
Jumlah akarnya : x1 + x2 = -b/a = 2 dan hasil kali akar : x1 . x2 = c/a = 1/3
Misalkan persamaan kuadrat yang baru adalah p & q. Pola hubungan lama dan baru:
p = x13 dan q = x23
Jumlah akarnya : p + q = x13 + x23
= (x1 + x2)3 - 3x1 . x2 (x1 + x2)
= 23 - 3 . 1/3 . 2 = 6
Hasil kali akarnya : p . q = x13 . x23
= (x1 . x2)3 = (1/3)3 = 1/27
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah:
x2 - (p + q)x + p . q = 0
x2 - 6x + 1/27 = 0 (dibulatkan --> x27)
27x2 - 162x + 1 = 0
Tidak ada komentar:
Posting Komentar